Equivariant Gerbes over Compact Simple Lie Groups

Using groupoid S-central extensions, we present, for a compact simple Lie group G, an infinite dimensional model of S-gerbe over the differential stack G/G whose Dixmier-Douady class corresponds to the canonical generator of the equivariant cohomology H G(G). c © 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS Gerbes Equivariantes sur les groupes de Lie simples compacts Résumé. En utilisant des extensions S-centrales de groupöıdes, nous présentons, dans le cas d’un groupe simple compact G un modèle de dimension infinie d’une S-gerbe sur un champ différentiable G/G dont la classe de Dixmier-Douady correspond au générateur canonique de la cohomologie équivariante H G(G). c © 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS Version française abrégée Soit G un groupe de Lie compact simple, le groupe de cohomologie équivariante H G(G) contient un générateur canonique [ω+Ω] dont la classe est entière (voir Sec. 3.1. pour la définition de ω et Ω), où G agit sur lui-même par conjugaison. Nous réalisons cette classe en termes d’une extension S-centrale de groupöıdes, ou en tant que la classe de Dixmier-Douady d’une gerbe sur un champ différentiable. Le champ est celui correspondant à la transformation de groupöıde G×G⇉ G. Cet exemple s’intègre dans la théorie générale développée dans [2, 3]. Notre construction est divisée en deux étapes. La première étape s’inscrit dans le cadre de la géométrie de Poisson: pour une variété de Poisson affine g induite par un 2-cocycle d’algèbre de Lie λ ∈ ∧g, nous construisons son groupöıde symplectique ainsi qu’une extension S-centrale de groupöıdes. La construction se Note présentée par First name NAME S0764-4442(00)0????-?/FLA c © 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés. 1